বর্গসংখ্যা দুটি কত?

সংখ্যা নিয়ে আমরা অনেক সমস্যার সহজ সমাধান বের করেছি। এরকমই একটি সমস্যা দেখুন। ক্রমিক ৭টি সংখ্যার যোগফল যদি ৩৫০ হয় তাহলে সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত? এর উত্তর আমরা বিভিন্নভাবে বের করতে পারি। তবে সাধারণ জ্ঞান ব্যবহার করে সহজেই বের করা যায়। প্রথমেই দেখব, যেহেতু ক্রমিক ৭টি সংখ্যা, তাই মাঝখানের, মানে চতুর্থ সংখ্যাটিই ওই ৭টি সংখ্যার যোগফলের গড়। সুতরাং সংখ্যাগুলোর গড় ৩৫০/৭ = ৫০। অর্থাৎ ৫০-কে মাঝখানে রেখে এর আগের তিনটি ও পরের তিনটি সংখ্যাসহ আমাদের মোট সাতটি সংখ্যা। সুতরাং সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি হবে এরকম: চতুর্থ সংখ্যা যেহেতু ৫০, তাই পঞ্চম সংখ্যা ৫১, ষষ্ঠ সংখ্যা ৫২ ও সপ্তম, বা সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি ৫৩। সংখ্যাগুলো হলো ৪৭, ৪৮, ৪৯, ৫০, ৫১, ৫২ ও ৫৩। এদের যোগফল = (৪৭+৪৮+৪৯+ ৫০+৫১+৫২+৫৩) = ৩৫০। আবার আমরা এভাবেও বের করতে পারি, যেমন প্রথম সংখ্যাটি যদি ক হয়, তাহলে পরের সংখ্যাগুলো হবে (ক +১), (ক + ২),… (ক + ৬)। এদের যোগফল (৭ক + ২১)=৩৫০। অর্থাৎ ৭ক = (৩৫০-২১) = ৩২৯। সুতরাং ক = ৩২৯/৭ = ৪৭।
প্রায় একই ধরনের আরেকটি সমস্যা দেখুন। ৮টি ক্রমিক জোড় সংখ্যার শেষ ৩টির যোগফল ৫৫২। এখন বলুন তো প্রথম ৩টির যোগফল কত? এর উত্তর বের করার জন্য আমাদের যুক্তি হবে এ রকম: প্রথমে ৫৫২-কে ৩ দিয়ে ভাগ করি। তাহলে নিশ্চয়ই আমরা শেষ তিনটি সংখ্যার মাঝেরটির, মানে শেষ সংখ্যার আগের সংখ্যাটি (সপ্তম সংখ্যা) পাব। ৫৫২/৩ = ১৮৪। তাহলে শেষ সংখ্যাটি (১৮৪ + ২)=১৮৬। এবং ১৮৪ থেকে পর্যায়ক্রমে ২ বিয়োগ করলে ষষ্ঠ, পঞ্চম, চতুর্থ, …প্রথম সংখ্যাগুলো পাব। তাই ক্রমিক জোড় সংখাগুলো হলো ১৭২, ১৭৪, ১৭৬, ১৭৮, ১৮০, ১৮২, ১৮৪ ও ১৮৬। সুতরাং প্রথম তিনটি ক্রমিক জোড়সংখ্যার যোগফল = (১৭২ + ১৭৪ + ১৭৬) = ৫২২।
এই সমস্যাটিও আগের মতো প্রথম সংখ্যাটি ‘ক’ ধরে সমাধান করা যায়। তাহলে সংখ্যাগুলো হবে ক, (ক + ২), (ক + ৪),…, (ক + ১৪)। শর্ত অনুযায়ী শেষ তিনটির যোগফল (ক + ১০) + (ক + ১২) + (ক + ১৪) = (৩ক + ৩৬) = ৫৫২। অথবা, ৩ক = (৫৫২-৩৬) = ৫১৬। সুতরাং ক = ১৭২। তাই প্রথম তিনটি সংখ্যার যোগফল (১৭২ + ১৭৪ + ১৭৬) = ৫২২।

এ সপ্তাহের প্রশ্ন
দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের বিয়োগফল ২৩ হলে সংখ্যা দুটি কত?
এ প্রশ্নের উত্তর ওয়েবে প্রতিক্রিয়া হিসাবে অথবা আমার ইমেইলে পাঠাতে পারেন।

গত রোববারের প্রশ্নের উত্তর
প্রশ্নটি ছিল এরকম: ০ থেকে ৯ পর্যন্ত ১০টি অঙ্কের মধ্যে চারটি করে অঙ্ক যতভাবে সম্ভব সাজিয়ে লিখলে কতটি সংখ্যা পাওয়া যাবে?
উত্তর: ৯০০০টি সংখ্যা
প্রশ্নটি হয়তো একটু কঠিন মনে হয়েছে। তাই সঠিক উত্তর পাইনি। কিন্তু আসলে প্রশ্নটি তেমন কঠিন কিছু ছিল না।
কীভাবে উত্তর বের করলাম
চার অঙ্কের সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি ১০০০ এবং সবচেয়ে বড় ৯৯৯৯। সুতরাং মোট সংখ্যা ৯৯৯৯টি। কিন্তু এদের মধ্যে যেসব সংখ্যার শুরুতে এক বা একাধিক ০ পরপর থাকবে, ওগুলোকে চার অঙ্কের সংখ্যা বলা যাবে না। তাই ১০০০ এর ছোট সবগুলো সংখ্যা যেহেতু ০ দিয়ে শুরু, তাই চার অঙ্কের সংখ্যা নয়। এরকম সংখ্যা ৯৯৯ টি। এগুলো বাদ যাবে। অবশিষ্ট ৯০০০টি সংখ্যাই হবে ৪ অঙ্কের।
আমরা অন্যভাবেও উত্তরটি বের করতে পারি। প্রথমে যেহেতু ০ থাকতে পারবে না, তাই প্রথম ঘরে (সহস্রের ঘরে) ১ থেকে ৯ পর্যন্ত অঙ্ক থাকতে পারে ৯ ভাবে। দ্বিতীয় (শতকের) ঘরে ০ থেকে ৯ পর্যন্ত অঙ্কগুলো থাকতে পারে ১০ ভাবে। তৃতীয় (দশক) ও চতুর্থ (একক) ঘরেও থাকতে পারে ১০ ভাবে। সুতরাং মোট ৯X১০X১০X১০ =৯০০০ ভাবে চার অঙ্কের সংখ্যা সাজানো যাবে। এখানে ধরে নেওয়া হয়েছে যে কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলো একবারের বেশি ব্যবহার করা হয়নি।